StandardDeviation-标准差赋权法

1. 方法概述

标准差赋权法（Standard Deviation Weighting）是一类典型的客观赋权方法，其核心思想是：某指标在样本中的离散程度越大，说明其区分不同对象的能力越强，因此应赋予更高权重。

但就本项目 具体的算法3/多指标评价/StandardDeviation-标准差赋权法 的实际实现而言，该模块并不是“只计算一组客观权重”，而是一个完整的“赋权 + 综合评分 + 排名 + 导出”的一体化评价流程。结合 core/calculator.py、ui/main_window.py 与 ui/results_widget.py，当前实现的标准流程为：

• 读取对象列与指标列数据；
• 对正向指标、负向指标、适度指标进行同向化处理；
• 按用户选择执行 min-max 或 z-score + min-max 标准化；
• 在标准化矩阵上计算各指标标准差；
• 将标准差归一化为权重；
• 用加权求和得到对象综合得分；
• 按得分降序生成排名；
• 导出 Excel、图表与复现脚本。

设共有 \(m\) 个评价对象、\(n\) 个指标，原始决策矩阵记为

$$ X=(x_{ij})_{m\times n}, \quad i=1,2,\ldots,m, \quad j=1,2,\ldots,n \tag{1} $$

设最终客观权重向量记为

$$ w=\big(w_1,w_2,\ldots,w_n\big)^\top, \quad w_j\ge 0, \quad \sum_{j=1}^{n}w_j=1 \tag{2} $$

项目最终结果表中的核心列为：

• 对象
• 得分
• 排名

其中 得分越大表示对象越优，排名=1 表示最优对象。

2. 输入结构与项目流程

2.1 输入数据结构

上传页 ui/upload_widget.py 支持 .xlsx、.xls 与 .csv 文件，也支持直接加载示例数据。结合 utils/data_validator.py 与 core/calculator.py 的实际实现，当前项目对输入数据的要求可概括为：

• 第 1 列为对象名称列；
• 第 2 列及以后为指标列；
• 上传校验阶段要求至少包含 1 个指标列；
• 核心计算阶段要求最终选中的指标数不少于 2 个；
• 指标列必须全部能转为数值；
• 指标列不允许空值；
• 对象名称允许重复，但会给出告警；
• 常数列允许存在，但会给出告警，且其最终权重将为 0。

因此，进入 Calculator.run_analysis() 的标准数据结构可写为

$$ \mathcal{D}=\{A_i,\ x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in}\}_{i=1}^{m} \tag{3} $$

其中 \(A_i\) 表示第 \(i\) 个对象名称。

需要特别说明两点工程实现细节：

• 上传校验函数 validate_excel_data() 只在上传页被调用，重复对象和常数列都只是“提示但不阻断”；
• utils/data_validator.py 中虽然仍保留 validate_method_settings()，但当前 StandardDeviation 主流程并未调用它，且其字段要求与本模块现行参数页并不一致，因此本文以 ui/main_window.py -> core/calculator.py 的真实调用链为准。

2.2 界面参数流程

主窗口 ui/main_window.py 的当前流程为：

1. 上传数据；
2. 进入指标设置页；
3. 选择参与计算的指标并设置指标类型；
4. 进入参数设置页，配置标准化方式、标准差口径与敏感性分析；
5. 结果页自动启动计算并导出结果。

指标页 ui/indicators_widget.py 会收集以下参数：

• selected_indicators：参与计算的指标集合；
• indicator_types：每个指标的类型；
• standard_values：适度指标的目标值。

参数页 ui/methods_widget.py 当前提供的关键参数为：

• normalization：min-max 或 z-score；
• std_ddof：0 或 1；
• sensitivity：是否开启敏感性分析；
• sensitivity_delta：权重扰动比例 \(\Delta\)。

其中：

• std_ddof=0 表示总体标准差；
• std_ddof=1 表示样本标准差。

结果页 ui/results_widget.py 通过后台线程 StatsWorker 调用 Calculator.run_analysis()，成功后展示权重表、得分表，并开放以下按钮：

• 打开结果目录；
• 打开结果文件；
• 导出复现代码；
• 重置并回到主页面。

3. 指标类型处理与标准化口径

3.1 指标类型

当前项目支持三类指标：

• 正向指标：值越大越优；
• 负向指标：值越小越优；
• 适度指标：值越接近目标值越优。

设经过方向处理但尚未进入最终标准化流程的中间矩阵记为

$$ U=(u_{ij})_{m\times n} \tag{4} $$

3.2 正向指标

若第 \(j\) 个指标为正向指标，则程序不做额外变换，直接令

$$ u_{ij}=x_{ij} \tag{5} $$

3.3 负向指标

若第 \(j\) 个指标为负向指标，core/calculator.py 的实现并不是直接写成常见的

\(\frac{\max-x}{\max-\min}\)

形式，而是先做一次线性镜像变换：

$$ u_{ij}=x_j^{\max}+x_j^{\min}-x_{ij} \tag{6} $$

其中

$$ x_j^{\max}=\max_{1\le i\le m}x_{ij}, \quad x_j^{\min}=\min_{1\le i\le m}x_{ij} \tag{7} $$

随后再与其他指标一起进入统一标准化流程。

3.4 适度指标

若第 \(j\) 个指标为适度指标，程序先构造“接近目标值”的得分：

$$ u_{ij}=1-\frac{|x_{ij}-t_j|}{\max\left(|x_j^{\max}-t_j|,\ |x_j^{\min}-t_j|\right)} \tag{8} $$

并将结果裁剪到 \([0,1]\) 区间。这里 \(t_j\) 表示第 \(j\) 个适度指标的目标值。

当前项目的目标值来源分两层：

• 正常 UI 流程下，用户在指标页输入目标值；
• 若直接调用核心类且未提供该值，核心会回退为该列均值，并写入告警。

因此，项目中的目标值口径为

$$ t_j= \begin{cases} \text{用户提供值}, & \text{若已提供}\\ \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{ij}, & \text{若未提供} \end{cases} \tag{9} $$

若式（8）的分母为 0，说明该列所有值都与目标值重合，程序会直接令

$$ u_{ij}=1 \tag{10} $$

需要特别说明：ui/indicators_widget.py 在用户把某列切换为“适度指标”时，会尝试把该列均值自动填入输入框；而 core/calculator.py 也保留了“缺失时回退均值”的兜底逻辑。因此，适度指标的“默认取均值”是 UI 和核心双重存在的实现策略。

3.5 Z-score 阶段

若参数页选择 normalization="z-score"，程序会先在矩阵 \(U\) 上做标准分数变换：

$$ z_{ij}=\frac{u_{ij}-\mu_j}{\sigma_j} \tag{11} $$

其中

$$ \mu_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}u_{ij} \tag{12} $$

$$ \sigma_j=\sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(u_{ij}-\mu_j)^2} \tag{13} $$

这里必须强调一个和很多论文写法容易混淆的点：Z-score 阶段固定使用 ddof=0，这一口径不受参数 std_ddof 影响。

若 \(\sigma_j=0\)，程序直接把该列置为 0，并追加告警，即

$$ z_{ij}=0 \tag{14} $$

3.6 Min-Max 阶段

无论用户起初选择的是 min-max 还是 z-score，程序最终都会执行一次 Max-Min 归一化。记进入该阶段的列值为 \(v_{ij}\)，则

$$ n_{ij}=\frac{v_{ij}-v_j^{\min}}{v_j^{\max}-v_j^{\min}} \tag{15} $$

其中：

• 当 normalization="min-max" 时，\(v_{ij}=u_{ij}\)；
• 当 normalization="z-score" 时，\(v_{ij}=z_{ij}\)。

若某列在进入该阶段时满足 \(v_j^{\max}=v_j^{\min}\)，程序会直接令

$$ n_{ij}=0 \tag{16} $$

并写入“常数列”告警。

最终实际用于后续权重计算与综合评分的标准化矩阵记为

$$ N=(n_{ij})_{m\times n} \tag{17} $$

这意味着：即便适度指标在式（8）中已经被压到 \([0,1]\)，项目仍会继续对其执行式（15）这一统一标准化步骤，而不是在式（8）后直接停止。

4. 标准差权重计算

4.1 标准差定义

在得到标准化矩阵 \(N\) 后，程序对每个指标列计算标准差。设第 \(j\) 个指标的均值为

$$ \bar{n}_j=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}n_{ij} \tag{18} $$

则其标准差定义为

$$ s_j=\sqrt{\frac{1}{m-\text{ddof}}\sum_{i=1}^{m}(n_{ij}-\bar{n}_j)^2} \tag{19} $$

其中

$$ \text{ddof}\in\{0,1\} \tag{20} $$

并由参数页中的 std_ddof 决定。

因此：

• std_ddof=0 时，对应总体标准差；
• std_ddof=1 时，对应样本标准差。

4.2 权重归一化

标准差赋权法在本项目中的权重定义为

$$ w_j=\frac{s_j}{\sum_{k=1}^{n}s_k} \tag{21} $$

若

$$ \sum_{k=1}^{n}s_k\le 0 \tag{22} $$

则程序直接报错“标准差为 0，无法计算权重”，不会继续生成结果。

这说明：当前实现不提供“全列无差异时自动回退等权”的兜底分支，而是明确认为此时不存在可区分的客观赋权基础。

5. 综合得分与排序

5.1 加权求和得分

当前 StandardDeviation 模块在得到权重后，直接采用加权求和得到对象综合得分。对第 \(i\) 个对象，其得分定义为

$$ S_i=\sum_{j=1}^{n}n_{ij}w_j \tag{23} $$

矩阵形式可写为

$$ S=Nw \tag{24} $$

这里 \(S=(S_1,S_2,\ldots,S_m)^\top\)。

5.2 排名规则

程序按得分降序排序，排名函数为

$$ R_i=\operatorname{rank}_{\downarrow}(S_i) \tag{25} $$

但实际代码采用的是 pandas.rank(ascending=False, method="min")，因此若有并列得分，则并列对象会取得相同的最小名次。例如两个对象并列第 2，则下一名次会跳到第 4。

此外，结果表会再按

• 排名 升序；
• 对象 升序

进行二次排序。因此，若得分或名次相同，最终展示顺序还会受对象名称字符串顺序影响。

6. 敏感性分析

6.1 开启条件

当参数页勾选 开启敏感性分析 时，程序会对每一个指标分别构造“权重上调”和“权重下调”两个扰动场景。

设原始权重向量为 \(w\)，扰动比例为 \(\Delta\)，若对第 \(j\) 个指标做正向扰动，则先令

$$ \tilde{w}_j^{(+)}=w_j(1+\Delta) \tag{26} $$

其余权重先保持原值不变，再整体归一化为

$$ w_k^{(+)}=\frac{\tilde{w}_k^{(+)}}{\sum_{r=1}^{n}\tilde{w}_r^{(+)}} \tag{27} $$

若做负向扰动，则程序先令

$$ \tilde{w}_j^{(-)}=w_j\max(0,1-\Delta) \tag{28} $$

再做相同的归一化。

6.2 输出指标

对每个扰动场景，程序重新计算得分，并与基准得分比较。设扰动后第 \(i\) 个对象的新得分为 \(S_i^{(\pm,j)}\)，则分值变化量为

$$ \Delta S_i^{(\pm,j)}=S_i^{(\pm,j)}-S_i \tag{29} $$

结果表中输出两项统计量：

$$ \operatorname{MaxChange}_j^{(\pm)}= \max_{1\le i\le m}\left|\Delta S_i^{(\pm,j)}\right| \tag{30} $$

$$ \operatorname{MeanChange}_j^{(\pm)}= \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left|\Delta S_i^{(\pm,j)}\right| \tag{31} $$

Excel Sensitivity 工作表与结果字典中的 step_results["sensitivity"] 都基于上述统计结果生成。

若用户输入的 sensitivity_delta 不在 \((0,1)\) 内，核心会自动把它重置为 0.1 并记录告警。

7. 结果结构、导出内容与工程约束

7.1 结果字典结构

Calculator.get_results() 返回的统一结果字典包含以下主键：

• raw_data
• processed_data
• step_results
• final_results
• charts
• parameters

其中：

• raw_data 存储原始数据预览、字段名、形状和 source_file；
• processed_data 存储对象列、指标集合、指标类型、标准值、标准化方式、std_ddof 以及标准化矩阵预览；
• step_results 存储标准差、权重、敏感性分析预览和告警列表；
• final_results 存储最终权重、得分排名和权重统计量。

需要特别指出的是：processed_data["normalized"] 不是完整 DataFrame，而是包含

• shape
• columns
• head

的预览字典。这是当前版本为控制结果体量而采取的工程化结构。

7.2 权重统计量

当前项目除输出权重向量外，还会附带三类集中度统计。设 \(w=(w_1,\ldots,w_n)\)，则：

赫芬达尔指数（HHI）为

$$ HHI=\sum_{j=1}^{n}w_j^2 \tag{32} $$

有效指标数为

$$ N_{\text{eff}}=\frac{1}{\sum_{j=1}^{n}w_j^2} \tag{33} $$

权重熵为

$$ H(w)=-\sum_{j=1}^{n}w_j\ln w_j \tag{34} $$

但在实际代码中，式（34）仅对 \(w_j>0\) 的项求和。

这些统计量被写入 final_results["weights_stats"]，并导出到 Excel 的 Weights_Stats 工作表。

7.3 Excel 导出结构

core/calculator.py 当前会输出以下工作表：

• Parameters
• RawData
• Normalized
• StdDeviations
• Weights
• Scores
• Weights_Stats
• Sensitivity
• Warnings
• Charts

需要注意：这些工作表名称全部采用英文命名，而不是中文命名，这一点与部分其他算法模块不同。

其中 Weights 表除 指标 与 权重 外，还额外输出：

• 权重(%)
• 累计权重

7.4 图表输出

当前版本可输出的图表包括：

• weights.png
• weights_pie.png
• scores.png
• scores_sorted.png
• std_values.png
• sensitivity.png

其中 sensitivity.png 仅在开启敏感性分析时生成。

7.5 输出路径与复现脚本

若未传入 output_file，程序会在模块 results 目录下自动创建时间戳子目录，并生成

标准差赋权结果_时间戳.xlsx

若传入 output_file，程序也不会直接覆盖该路径，而是以目标文件名 stem 为基础再创建一个时间戳目录。

结果页 ui/results_widget.py 还支持导出复现脚本 repro_standard_deviation_template_时间戳.py。该脚本会：

• 自动尝试定位算法目录；
• 优先读取原始数据文件；
• 若原始数据路径缺失，则尝试从结果 Excel 的 RawData 工作表回读数据；
• 复用当前分析参数再次调用 Calculator.run_analysis()。

因此，当前模块已经形成“结果文件 + 图表 + 复现脚本”的完整复现实验输出链。

8. 与代码实现的对应关系

与很多教材或论文中的“纯标准差赋权”描述相比，本项目当前实现有以下几个必须单独说明的差异：

8.1 不是只输出权重，而是直接输出排序

很多标准差赋权法文献只把该方法作为“客观确定权重”的步骤，再与 TOPSIS、VIKOR 或其他评价模型结合使用。而本项目当前实现直接采用式（23）的加权求和作为最终评价模型，因此它在工程上是一个完整的综合评价模块，而不是单独的赋权子模块。

8.2 负向指标和适度指标先处理，再统一标准化

本项目并不是在权重公式里单独区分成本项和效益项，而是在 core/calculator.py 中先把负向指标线性翻转、把适度指标转成接近度，再对所有列统一执行 z-score 或 min-max。因此，最终标准差权重是建立在“已完成同向化”的矩阵 \(N\) 上，而不是原始矩阵 \(X\) 上。

8.3 std_ddof 只影响权重阶段，不影响 Z-score 阶段

这是当前实现中最容易被写错的一点：

• Z-score 阶段固定使用 ddof=0；
• std_ddof 只作用于式（19）的标准差权重计算。

如果论文说明里把两者写成同一个自由参数，就与当前代码不一致。

8.4 上传页“提示但不阻断”，核心层再做兜底

重复对象名称、常数列在上传时不会直接中断，只会弹出提示。进入核心层后：

• 重复对象仍允许继续计算，但会在 warnings 中写入提示；
• 常数列在标准化后会变成 0 列，对应标准差为 0，最终权重为 0。

因此，当前实现属于“前端宽松校验 + 核心数值兜底”的风格，而不是严格前端阻断式校验。

9. 项目回归测试口径

当前模块已配套如下测试：

• Z冒烟测试/test_standard_deviation_smoke.py
• Z冒烟测试/test_standard_deviation_baseline.py
• Z冒烟测试/test_standard_deviation_ui_flow.py

其中基线回归 test_standard_deviation_baseline.py 使用：

• 指标集合：C1, C2, C3, C4
• 指标类型：正向, 负向, 正向, 适度
• 适度指标目标值：C4 = 58
• 标准化方式：min-max
• 标准差口径：std_ddof = 0
• 敏感性分析：开启，\Delta = 0.1

在这一代码基线下，期望权重向量为

$$ w= \big( 0.2542656898,\ 0.2685571889,\ 0.2389167877,\ 0.2382603336 \big)^\top \tag{35} $$

对应的对象排序为

$$ A3 \succ A5 \succ A4 \succ A1 \succ A2 \succ A6 \tag{36} $$

对应得分为

$$ \big( 0.6128494944,\ 0.6069681257,\ 0.5608183124,\ 0.4764491629,\ 0.3977570101,\ 0.3696460865 \big) \tag{37} $$

同时，测试还要求 processed_data["normalized"]["shape"]=(6,4)，并验证：

• 权重和为 1；
• 敏感性分析结果非空；
• UI 流程可从上传页进入结果页并成功重置回首页。

因此，上述数值可以直接作为当前项目版本撰写论文说明、方法附录或复现实验描述时的代码口径依据。

10. 论文写作模板

10.1 方法描述模板

“本文采用标准差赋权法对评价对象进行综合评价。首先根据指标属性对原始决策矩阵进行同向化处理，其中负向指标按式（6）转换，适度指标按式（8）映射为目标接近度；随后依据研究设定采用 Min-Max 标准化或 Z-score 与 Min-Max 组合标准化，得到标准化矩阵 \(N\)（式（11）–式（17））。在此基础上，根据各指标标准差计算客观权重（式（18）–式（22）），并采用加权求和模型计算各对象综合得分 \(S_i\)（式（23）–式（24）），最终按得分降序形成排序结果（式（25））。”

10.2 结果解释模板

结果部分可写为：标准差赋权结果表明，指标离散程度越大，其客观权重越高，因此该方法能够突出区分度较强的指标。在综合结果解释中，应同时关注权重结果与对象得分结果：一方面，权重较大的指标往往是影响排序的主要驱动因素；另一方面，综合得分 \(S_i\) 越大表示对象整体表现越优。若敏感性分析结果中的最大变化量与平均变化量均较小，则说明当前排序对权重扰动具有较好的稳健性。

10.3 表格标题模板

1. 表 1 指标类型、标准值与标准化方法设置表
2. 表 2 标准差赋权结果表
3. 表 3 各对象综合得分与排名结果表
4. 表 4 权重集中度统计结果表
5. 表 5 权重敏感性分析结果表

10.4 图表题注模板

1. 图 1 标准差赋权指标权重条形图。
2. 图 2 标准差赋权指标权重饼图。
3. 图 3 各对象综合得分分布图。
4. 图 4 各对象综合得分排序图。
5. 图 5 指标标准差对比图。
6. 图 6 权重敏感性分析图。

10.5 表格示例

表 1 标准差赋权综合评价结果

对象	综合得分 \(S_i\)	排名
A1
A2

表注：综合得分 \(S_i\) 按式（23）计算，取值越大表示对象越优。

表 2 指标权重与统计量结果

指标	权重	权重(%)	累计权重
\(C_1\)
\(C_2\)

表注：各指标权重由标准差归一化得到，见式（21）；权重统计量可结合式（32）–式（34）分析权重集中程度。

11. 单篇终审补充

11.1 图题与表题对齐建议

• Parameters 表可写为：表X 标准差赋权参数设置表。
• RawData 表可写为：表X 标准差赋权原始数据表。
• Normalized 表可写为：表X 标准差赋权标准化矩阵表。
• StdDeviations 表可写为：表X 指标标准差结果表。
• Weights 表可写为：表X 标准差赋权权重表。
• Scores 表可写为：表X 标准差赋权综合得分表。
• Weights_Stats 表可写为：表X 权重统计量结果表。
• Sensitivity 表可写为：表X 标准差赋权敏感性分析表。
• Charts 表可写为：表X 标准差赋权图表索引表。
• weights.png 建议写为：图X 标准差赋权权重条形图。
• weights_pie.png 建议写为：图X 标准差赋权权重饼图。
• std_values.png 建议写为：图X 指标标准差对比图。
• scores.png 建议写为：图X 综合得分图。
• scores_sorted.png 建议写为：图X 综合得分排序图。
• sensitivity.png 建议写为：图X 权重敏感性分析图。

11.2 终审说明

• 当前代表性结果目录可采用 results/manual_check_20260321_01/std_manual_20260321_050829。其中主工作簿为 std_manual_20260321_050829.xlsx，复现输出为 标准差赋权复现结果_20260321_050830.xlsx。
• 当前真实工作表为 Parameters/RawData/Normalized/StdDeviations/Weights/Scores/Weights_Stats/Sensitivity/Charts。论文表题应按这组英文 sheet 名落地。
• 当前稳定实体图文件为 charts/weights.png、charts/weights_pie.png、charts/std_values.png、charts/scores.png、charts/scores_sorted.png、charts/sensitivity.png。若正文解释“标准差越大权重越高”，应直接对应 StdDeviations 工作表和 std_values.png。
• 真实 repro 脚本为 repro_standard_deviation_template_20260321_050830.py。它默认优先通过 SRC_FILE = 'uploads/standard_deviation_sample.xlsx' 回读算法目录下的示例输入；若 SRC_FILE 为空，才会回退读取结果簿 RawData。这属于“优先示例输入、次级结果簿回读”的复现口径。
• 当前脚本命名虽然带 template，但调用的是真实 core.calculator。论文附录可以明确写它是可执行复现脚本，而不是文档模板。

11.3 全量强化补充

• 当前 StandardDeviation 文档应绑定真实算法目录 具体的算法3/多指标评价/StandardDeviation-标准差赋权法，代表性主目录为 具体的算法3/多指标评价/StandardDeviation-标准差赋权法/results/manual_check_20260321_01/std_manual_20260321_050829。
• 该目录首层主工作簿为 std_manual_20260321_050829.xlsx，真实工作表为 Parameters、RawData、Normalized、StdDeviations、Weights、Scores、Weights_Stats、Sensitivity、Charts。
• 主图位于 charts/ 子目录，真实文件为 weights.png、weights_pie.png、std_values.png、scores.png、scores_sorted.png、sensitivity.png。
• 当前目录同时保留了一套完整再生产物目录 标准差赋权复现结果_20260321_050830/，其内部也有一份结构一致的 xlsx 和同名 charts/ 图。这说明这里不是只放一轮主结果，而是“首层主结果 + 子目录复现结果”的两层证据。
• 复现脚本 repro_standard_deviation_template_20260321_050830.py 的关键输入写法是 SRC_FILE = 'uploads/standard_deviation_sample.xlsx'，并且输出文件路径写为 OUTPUT_FILE = RESULT_DIR / f'标准差赋权复现结果_{TS}.xlsx'。因此其复现链属于“回指算法 uploads 示例输入，再在结果目录生成新子目录产物”的结构。
• 正文与附录若讨论可复现性，应明确把 std_manual_20260321_050829.xlsx 作为主结果，把 标准差赋权复现结果_20260321_050830/标准差赋权复现结果_20260321_050830.xlsx 作为复现再生产物，不要混写成同一份工作簿。

12. 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前主结果目录应写作 具体的算法3/多指标评价/StandardDeviation-标准差赋权法/results/manual_check_20260321_01/std_manual_20260321_050829。
• 正文应围绕 Parameters、RawData、Normalized、StdDeviations、Weights、Scores、Weights_Stats、Sensitivity、Charts 来写。
• 图证应对应 weights.png、weights_pie.png、std_values.png、scores.png、scores_sorted.png、sensitivity.png。
• 复现脚本应按 repro_standard_deviation_template_20260321_050830.py + uploads/standard_deviation_sample.xlsx 的口径说明；标准差赋权复现结果_20260321_050830/ 只作为复现再生产物。