VECM-协整向量误差修正（VECM）

1. 方法概述

向量误差修正模型（Vector Error Correction Model, VECM）用于刻画多个非平稳但存在协整关系的时间序列系统。其核心是把长期均衡关系（协整）与短期动态（差分项）统一到同一模型中。

设 \(k\) 维内生变量向量为 \(y_t=(y_{1t},\dots,y_{kt})^\top\)，样本长度为 \(T\)。

2. 从 VAR 到 VECM

给定 VAR(\(p\))：

$$ y_t = A_1 y_{t-1}+\cdots +A_p y_{t-p}+u_t \tag{1} $$

可改写为 VECM 形式：

$$ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\,\Delta y_{t-i} + \mu + \varepsilon_t \tag{2} $$

其中

$$ \Pi = \sum_{i=1}^{p}A_i - I_k, \qquad \Gamma_i = -\sum_{j=i+1}^{p}A_j \tag{3} $$

若 \(\mathrm{rank}(\Pi)=r\in(0,k)\)，则存在分解

$$ \Pi = \alpha\beta^\top \tag{4} $$

• \(\beta\in\mathbb{R}^{k\times r}\)：协整向量（长期均衡关系）；
• \(\alpha\in\mathbb{R}^{k\times r}\)：调整系数（偏离均衡后的修正速度）。

3. 协整秩与 Johansen 检验

设 \(\hat\lambda_1\ge \hat\lambda_2\ge\cdots\ge \hat\lambda_k\) 为特征值，Johansen 常用两类统计量：

3.1 Trace 检验

$$ \mathrm{LR}_{\mathrm{trace}}(r_0) = -T\sum_{i=r_0+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i) \tag{5} $$

3.2 Max-Eigen 检验

$$ \mathrm{LR}_{\max}(r_0,r_0+1) = -T\ln(1-\hat\lambda_{r_0+1}) \tag{6} $$

通过与临界值比较，确定协整秩 \(r\)。

4. 滞后阶与模型设定

VECM 中常用参数 \(k_{ar\_diff}\) 表示差分滞后阶，与 VAR 阶数关系为：

$$ p = k_{ar\_diff}+1 \tag{7} $$

模型可基于信息准则（AIC/BIC）自动选阶：

$$ \hat p = \arg\min_p \mathrm{IC}(p) \tag{8} $$

其中 \(\mathrm{IC}\) 可取 AIC 或 BIC。

5. 预测、IRF 与 FEVD

5.1 多步预测

在估计参数后，递推得到 \(h\) 步预测：

$$ \hat y_{t+h|t}=f(\hat\alpha,\hat\beta,\hat\Gamma_1,\dots,\hat\Gamma_{p-1};\,y_t,y_{t-1},\dots) \tag{9} $$

5.2 脉冲响应函数（IRF）

设 MA 表示为

$$ \Delta y_t = \sum_{h=0}^{\infty}\Psi_h\,\varepsilon_{t-h} \tag{10} $$

对冲击正交化（如 Cholesky）后，

$$ \Theta_h = \Psi_h P \tag{11} $$

\(\Theta_h(j,k)\) 表示“第 \(k\) 个冲击”在第 \(h\) 期对“第 \(j\) 个变量”的影响。

5.3 预测误差方差分解（FEVD）

给定预测期 \(H\)，响应变量 \(j\) 由冲击 \(k\) 解释的比例为：

$$ \mathrm{FEVD}_{j\leftarrow k}(H)= \frac{\sum_{h=0}^{H}\Theta_h(j,k)^2} {\sum_{m=1}^{k}\sum_{h=0}^{H}\Theta_h(j,m)^2} \tag{12} $$

6. 残差诊断（常用）

6.1 Durbin-Watson

$$ DW = \frac{\sum_{t=2}^{T}(e_t-e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{T}e_t^2} \tag{13} $$

6.2 Ljung-Box

$$ Q = T(T+2)\sum_{h=1}^{H}\frac{\hat\rho_h^2}{T-h} \tag{14} $$

6.3 Jarque-Bera

$$ JB = \frac{T}{6}\left(S^2+\frac{(K-3)^2}{4}\right) \tag{15} $$

其中 \(S\) 为偏度，\(K\) 为峰度。

7. 符号说明

8. 与代码实现的对应关系

8.1 程序实际生成的图表

• series_plot：原始序列图；
• diff_series_plot：差分序列图；
• forecast_plot：预测图；
• irf_y* 与 irf_matrix：单变量/矩阵 IRF 图；
• fevd_stacked：FEVD 堆叠图。

8.2 程序实现中应写明的点

• 主导出逻辑位于 core/critic_calculator.py，calculator.py 只是别名入口；
• 程序会同时导出 Beta(协整向量)、Alpha(调整系数) 与 Gamma(短期系数)，适合分别解释长期关系、偏离修正速度和短期动态；
• Johansen检验明细 与 Johansen检验 分别对应明细统计量和选秩摘要；
• 报告摘要 会把关键图路径一并写出，适合作为论文附录的索引页。

9. 论文写作模板

“本文针对 \(k\) 维时间序列构建 VECM 模型。首先基于 Johansen 协整检验确定协整秩 \(r\)（式(5)–(6)），再估计误差修正模型（式(2)），并将长期关系矩阵分解为 \(\Pi=\alpha\beta^\top\)（式(4)）。其中，\(\beta\) 描述长期均衡关系，\(\alpha\) 刻画系统偏离均衡后的调整速度。进一步通过 IRF 与 FEVD（式(10)–(12)）分析冲击传导路径与方差贡献，并结合残差诊断统计量（式(13)–(15)）检验模型有效性与稳健性。”

10. 注意事项

1. VECM 前提是变量同阶单整且存在协整关系；若无协整，宜考虑 VAR 于差分域。
2. 协整秩过高或过低都会影响长期关系解释，应结合检验与经济含义共同判定。
3. IRF/FEVD 对识别顺序敏感（正交化方式影响结果），论文中应明确说明。
4. 解释结果时建议“长期关系（Beta）+ 调整速度（Alpha）+ 冲击分解（IRF/FEVD）”联合报告。

11. 单篇终审补充

11.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM），代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm。
• 表题应直接对应 vecm_baseline.xlsx 的真实工作表：原始数据、处理后数据、模型摘要、滞后阶选取、Johansen检验明细、Johansen检验、Beta(协整向量)、Alpha(调整系数)、协整方程（归一化）、协整系数（归一化）、残差诊断、预测、IRF、FEVD、图表清单、参数、参数与配置（分组）、报告摘要。
• 图题应优先对应该目录的实体图：series_plot.png、diff_series_plot.png、forecast_plot.png、irf_matrix.png、irf_y1.png、irf_y2.png、irf_y3.png、fevd_stacked.png。
• 图文对应时，建议把“原始序列/差分序列/预测图/IRF/FEVD”与上述文件名一一挂钩，不要再额外引入当前目录没有落地的协整轨迹图或网页诊断页。

11.2 终审说明

• 当前 VECM 文档的证据链较完整，既有中文命名的核心工作表，也有固定命名的 IRF/FEVD 图片，适合直接按“长期关系 + 调整速度 + 冲击响应”结构写入论文正文与附录。
• 复现脚本可直接引用 repro_vecm_template_20260329_165449.py，其 SRC_FILE 实际写为 results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/repro_inputs/vecm_input.csv。
• 这说明 VECM 的复现口径同样属于“模块根目录相对路径 + repro_inputs 快照输入”，与 Kalman 的脚本同目录相对路径写法不同，终稿说明中应明确区分。

11.3 全量强化补充

• 当前应锁定的主证据目录是 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm。主工作簿位于 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/vecm_baseline.xlsx。
• 主工作簿当前实际工作表为 原始数据、处理后数据、模型摘要、滞后阶选取、Johansen检验明细、Johansen检验、Beta(协整向量)、Alpha(调整系数)、协整方程（归一化）、协整系数（归一化）、残差诊断、预测、IRF、FEVD、图表清单、参数、参数与配置（分组）、报告摘要。因此当前文档应明确绑定 baseline 目录里的 vecm_baseline.xlsx，而不是把根目录平铺图误写成另一轮独立实验。
• 当前首层图文件均位于该 baseline 目录根部，分别是 series_plot.png、diff_series_plot.png、forecast_plot.png、irf_matrix.png、irf_y1.png、irf_y2.png、irf_y3.png、fevd_stacked.png。图表引用应直接指向这一目录，而不是指向算法 results 根目录下的同名平铺图。
• 当前 baseline 目录内保留了多份历史 repro 脚本，最新一份是 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/repro_vecm_template_20260329_165449.py。其真实输入口径是 SRC_FILE = 'results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/repro_inputs/vecm_input.csv'，也就是“相对于模块根目录的相对路径”。
• 对应输入副本实体文件位于 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/repro_inputs/vecm_input.csv。因此这篇文档应明确说明：VECM 的当前复现脚本不是“脚本同目录直接读取 CSV”，而是“模块根目录相对路径回指到 baseline 目录下的 repro_inputs 快照”。

12. 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前实现的主结果目录应写作 具体的算法2/VECM-协整向量误差修正（VECM）/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm，主工作簿为 vecm_baseline.xlsx。
• 正文应围绕 原始数据、处理后数据、模型摘要、滞后阶选取、Johansen检验明细、Johansen检验、Beta(协整向量)、Alpha(调整系数)、协整方程（归一化）、协整系数（归一化）、残差诊断、预测、IRF、FEVD、图表清单、参数、参数与配置（分组）、报告摘要 来写。
• 图证应对应 series_plot.png、diff_series_plot.png、forecast_plot.png、irf_matrix.png、irf_y1.png、irf_y2.png、irf_y3.png、fevd_stacked.png。
• repro_vecm_template_20260329_165449.py + results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami5_vecm/repro_inputs/vecm_input.csv 是模块根目录相对路径回指 baseline 目录的复现口径，正文和附录要与主结果目录分开写。