55-RDD-回归不连续（RDD）

1. 方法概述

回归不连续设计（Regression Discontinuity Design, RDD）是一类基于阈值分配机制的准实验因果推断方法。当处理变量由运行变量是否跨过断点所决定时，断点附近样本在可观测和不可观测因素上可近似视为可比，从而可以识别局部因果效应。当前系统实现的是 Sharp RDD（锐断点设计），适用于“是否接受政策/补贴/资格”由阈值严格决定的研究场景。

设样本为

$$ \mathcal{D}=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n},\quad x_i\in\mathbb{R},\ y_i\in\mathbb{R} \tag{1} $$

其中，\(x_i\) 为运行变量（running variable），\(y_i\) 为结果变量（outcome）。

2. 识别框架与处理分配

设断点为 \(c\)，Sharp RDD 的处理分配规则为

$$ D_i=\mathbf{1}(x_i\ge c) \tag{2} $$

在连续性假设下，断点处局部平均处理效应（LATE）定义为

$$ \tau=\lim_{x\to c^+}\mathbb{E}[Y\mid X=x]-\lim_{x\to c^-}\mathbb{E}[Y\mid X=x] \tag{3} $$

为便于估计，常将运行变量中心化：

$$ \tilde x_i=x_i-c \tag{4} $$

3. 局部多项式估计

系统在带宽 \(h\) 内分别对断点左右两侧进行核加权局部多项式回归。设多项式阶数为 \(p\)，左侧与右侧的目标函数分别为

$$ \hat\beta_-= \arg\min_{\beta_-} \sum_{i:\,-h\le \tilde x_i<0} K\!\left(\frac{\tilde x_i}{h}\right) \left(y_i-\sum_{j=0}^{p}\beta_{-,j}\tilde x_i^j\right)^2 \tag{5} $$

$$ \hat\beta_+= \arg\min_{\beta_+} \sum_{i:\,0\le \tilde x_i\le h} K\!\left(\frac{\tilde x_i}{h}\right) \left(y_i-\sum_{j=0}^{p}\beta_{+,j}\tilde x_i^j\right)^2 \tag{6} $$

断点处左右极限由截距项给出，故估计量为

$$ \hat\tau=\hat\beta_{+,0}-\hat\beta_{-,0} \tag{7} $$

系统采用加权最小二乘（WLS）求解，若权重为 \(w_i\)，对应实现为

$$ X_i^*=\sqrt{w_i}X_i,\quad y_i^*=\sqrt{w_i}y_i \tag{8} $$

在左右侧独立得到截距标准误后，处理效应标准误近似为

$$ \mathrm{SE}(\hat\tau)=\sqrt{\mathrm{SE}(\hat\beta_{+,0})^2+\mathrm{SE}(\hat\beta_{-,0})^2} \tag{9} $$

统计检验量为

$$ t=\frac{\hat\tau}{\mathrm{SE}(\hat\tau)} \tag{10} $$

双侧 p 值为

$$ p=2\left(1-\Phi\left(|t|\right)\right) \tag{11} $$

系统默认给出 95% 置信区间：

$$ \hat\tau\pm 1.96\cdot \mathrm{SE}(\hat\tau) \tag{12} $$

4. 核函数与带宽

系统支持三种核函数：

三角核 $$ K(u)=\max(1-|u|,0) \tag{13} $$

Epanechnikov 核 $$ K(u)=\max\left(0,\frac{3}{4}(1-u^2)\right) \tag{14} $$

均匀核 $$ K(u)=\mathbf{1}(|u|\le 1) \tag{15} $$

带宽选择支持 IK、CV、手动指定三种方式。可记一般形式为

$$ h=\arg\min_{b\in\mathcal{H}}\mathcal{J}(b) \tag{16} $$

其中，IK 对应最优带宽准则，CV 对应预测误差最小化，手动方式由研究者给定 \(h\)。

系统还进行带宽稳健性分析（默认倍数 \(m\in\{0.5,0.75,1.0,1.25,1.5\}\)）：

$$ h_m=m\cdot h \tag{17} $$

并在每个 \(h_m\) 下重复估计 \(\hat\tau(h_m)\)。

5. McCrary 密度连续性检验

为检验运行变量在断点处是否存在操纵，系统进行密度连续性检验。记断点左右密度估计为 \(\hat f_-(c),\hat f_+(c)\)，则对数密度差为

$$ \Delta=\log\hat f_+(c)-\log\hat f_-(c) \tag{18} $$

在简化近似下，统计量为

$$ Z=\frac{\Delta}{\sqrt{1/n_-+1/n_+}} \tag{19} $$

其中 \(n_-,n_+\) 为断点附近左右样本数。双侧 p 值为

$$ p_{mc}=2\left(1-\Phi(|Z|)\right) \tag{20} $$

若 \(p_{mc}>0.05\)，通常认为断点处密度连续，不支持显著操纵证据。

6. 协变量平衡检验

对于协变量 \(Z_k\)，系统比较断点附近左右侧均值：

$$ \Delta_k=\bar Z_{k,+}-\bar Z_{k,-} \tag{21} $$

并进行 Welch t 检验。若多数协变量在断点处差异不显著，可增强局部可比性的可信度。

7. 与系统一致的实现流程

系统实际流程可概括为：

1. 读取数据并进行缺失值过滤；
2. 校验断点是否位于运行变量取值范围内；
3. 根据带宽策略计算 \(h\)，并保证断点两侧最小样本数；
4. 在 \(|x-c|\le h\) 内做左右局部回归并估计 \(\hat\tau\)；
5. 输出 McCrary 检验、带宽稳健性、协变量平衡检验；
6. 导出 Excel 与图表，支持复现脚本导出。

8. 输出结果说明（Excel 与图表）

系统在 results/时间戳目录/ 下输出一个 xlsx 和多张图。

8.1 Excel 工作表

• Parameters：参数设置与输入信息；
• Estimation：\(\hat\tau\)、SE、置信区间、t、p、断点左右截距、带宽等；
• Diagnostics：样本规模与 McCrary 检验结果；
• Forecast：带宽内样本的拟合值（含 left/right 标识）；
• Robustness：不同带宽倍数下的估计结果；
• CovariateBalance：协变量平衡检验结果；
• Charts：图表文件路径索引。

8.2 图表文件

系统默认输出如下图表：

1. 01_rd_plot.png：RDD 散点与左右拟合线；
2. 02_bandwidth_sensitivity.png：带宽敏感性；
3. 03_mccrary_test.png：密度连续性检验；
4. 04_covariate_balance.png：协变量平衡（有协变量时）；
5. 05_residuals.png：残差分布与 Q-Q 图。

9. 论文写作模板

本文采用 Sharp RDD 识别政策阈值附近的局部因果效应。处理变量由运行变量是否跨越断点决定（式(2)），并通过断点左右条件期望差异定义处理效应（式(3)）。在估计层面，使用核加权局部多项式回归分别拟合断点两侧函数（式(5)–式(6)），以截距差作为处理效应估计量（式(7)），并报告标准误、t 统计量、p 值与置信区间（式(9)–式(12)）。进一步地，通过 McCrary 密度连续性检验（式(18)–式(20)）和协变量平衡检验（式(21)）验证识别假设，并使用多带宽稳健性分析（式(17)）评估估计结果稳定性。

10. 实现说明与注意事项

1. 断点值必须位于运行变量取值区间内部，且断点两侧应有足够样本；
2. RDD 识别的是断点附近的局部效应，不等同于全样本平均处理效应；
3. 带宽过大可能引入偏差，带宽过小可能导致方差上升；
4. 建议在正文报告主带宽结果，在附录报告稳健性和诊断图表。

11. 单篇终审补充

11.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD）。
• 代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD）/results/RDD分析结果_20260329_165227_271695。
• 表题应直接对应 RDD分析结果_20260329_165227_271695.xlsx 的真实工作表：Parameters、Estimation、Diagnostics、Forecast、Robustness、CovariateBalance、Charts。
• 图题应优先绑定该目录下真实图：01_rd_plot.png、02_bandwidth_sensitivity.png、03_mccrary_test.png、04_covariate_balance.png、05_residuals.png。

11.2 终审说明

• 当前 RDD 的正式结果目录已经可以形成“xlsx + 图”闭环。
• 复现脚本可对应 results/repro_rdd_template_20260329_165324.py，其 SRC_FILE 实际写为 rdd_window1_input.csv，属于“results 根目录脚本同目录 CSV 快照复现”口径。
• 因此论文中若写复现说明，应区分“时间戳结果目录中的正式导出”与“results 根目录中的复现脚本/输入 CSV”，不要将其误写成 repro_inputs 结构。

11.3 全量强化补充

• 当前 RDD 文档应绑定真实算法目录 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD），代表性主结果目录为 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD）/results/RDD分析结果_20260329_165227_271695。
• 该主目录内工作簿为 RDD分析结果_20260329_165227_271695.xlsx，真实工作表为 Parameters、Estimation、Diagnostics、Forecast、Robustness、CovariateBalance、Charts。
• 主图文件与主工作簿同层放置，分别为 01_rd_plot.png、02_bandwidth_sensitivity.png、03_mccrary_test.png、04_covariate_balance.png、05_residuals.png。当前主结果目录没有单独 charts/ 文件夹。
• results 根目录还平铺保留了同名图片、输入 CSV rdd_window1_input.csv、多份 repro_rdd_template_*.py 和多份 pytest 结果簿。这说明 RDD 当前采用“时间戳结果目录 + results 根目录复现入口”的分层结构。
• 当前主复现入口为 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD）/results/repro_rdd_template_20260329_165324.py，脚本关键输入写法是 SRC_FILE = 'rdd_window1_input.csv'。这属于 results 根目录脚本同目录 CSV 快照复现，不是 repro_inputs 结构。
• 因此正文与附录必须明确区分两层证据：RDD分析结果_20260329_165227_271695/ 用于承接正式结果簿和正式图，results/ 根目录下的 repro_rdd_template_20260329_165324.py + rdd_window1_input.csv 用于承接复现实验。
• 若论文写“程序自动导出可移植复现目录”，这里应修正为“当前模块的复现脚本与输入快照位于 results 根目录，而非时间戳结果目录内部”。这是与 CODAS、ANP、FastText 等算法的重要差异。

12. 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前实现的主结果目录应写作 具体的算法2/RDD-回归不连续（RDD）/results/RDD分析结果_20260329_165227_271695，主工作簿为 RDD分析结果_20260329_165227_271695.xlsx。
• 正文应围绕 Parameters、Estimation、Diagnostics、Forecast、Robustness、CovariateBalance、Charts 来写，图则对应 01_rd_plot.png、02_bandwidth_sensitivity.png、03_mccrary_test.png、04_covariate_balance.png、05_residuals.png。
• results 根目录中的 repro_rdd_template_20260329_165324.py + rdd_window1_input.csv 是复现入口，不应混成主结果目录产物。
• 这类时间戳目录与根目录复现脚本分离的结构，应在附录中明确写出，避免用户误以为整个工程只有单目录输出。