Kalman-卡尔曼滤波

1. 方法概述

卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一类线性高斯状态空间模型的最优递推估计方法，适用于含噪观测序列的状态估计、平滑与预测。其核心思想是：在给定系统动力学与观测方程的前提下，通过“预测—更新”递推，得到状态的最小均方误差估计。

设系统在时刻 \(t\) 的状态为 \(x_t\)，观测为 \(z_t\)，则卡尔曼滤波通过融合模型预测与观测信息，实现对不可见状态（如位置、速度、趋势等）的估计。

2. 线性状态空间模型

2.1 状态转移方程

$$ x_t = F x_{t-1} + B u_t + w_t \tag{1} $$

2.2 观测方程

$$ z_t = H x_t + v_t \tag{2} $$

其中过程噪声 \(w_t\) 与观测噪声 \(v_t\) 满足

$$ w_t \sim \mathcal{N}(0,Q),\quad v_t \sim \mathcal{N}(0,R),\quad \mathbb{E}[w_t v_t^\top]=0 \tag{3} $$

3. 卡尔曼滤波递推（预测—更新）

3.1 预测（Prediction）

$$ \hat{x}_{t|t-1} = F \hat{x}_{t-1|t-1} + B u_t \tag{4} $$

$$ P_{t|t-1} = F P_{t-1|t-1} F^\top + Q \tag{5} $$

3.2 创新与创新协方差

$$ \nu_t = z_t - H \hat{x}_{t|t-1} \tag{6} $$

$$ S_t = H P_{t|t-1} H^\top + R \tag{7} $$

3.3 更新（Update）

$$ K_t = P_{t|t-1} H^\top S_t^{-1} \tag{8} $$

$$ \hat{x}_{t|t} = \hat{x}_{t|t-1} + K_t \nu_t \tag{9} $$

$$ P_{t|t} = (I - K_t H) P_{t|t-1} \tag{10} $$

3.4 对数似然（用于模型评价）

$$ \log L = -\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\Big(\log|S_t| + \nu_t^\top S_t^{-1}\nu_t + m\log(2\pi)\Big) \tag{11} $$

其中 \(m\) 为观测维度。

4. RTS 平滑（可选）

当需要基于全样本进行平滑估计时，可使用 RTS 平滑器：

$$ C_t = P_{t|t} F^\top P_{t+1|t}^{-1} \tag{12} $$

$$ \hat{x}_{t|T} = \hat{x}_{t|t} + C_t(\hat{x}_{t+1|T} - \hat{x}_{t+1|t}) \tag{13} $$

$$ P_{t|T} = P_{t|t} + C_t(P_{t+1|T} - P_{t+1|t})C_t^\top \tag{14} $$

5. 预测（Forecast）

基于最新状态估计 \(\hat{x}_{T|T}\)，可递推得到 \(h\) 步预测：

$$ \hat{x}_{T+h|T} = F^h \hat{x}_{T|T} \tag{15} $$

并据观测方程得到预测观测 \(\hat{z}_{T+h|T}\)。

6. 常用模型：一维匀速模型（constant_velocity_1d）

状态向量设为

$$ x_t = \begin{bmatrix} p_t \\ v_t \end{bmatrix} \tag{16} $$

状态转移矩阵

$$ F = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{17} $$

观测矩阵（仅观测位置）

$$ H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \tag{18} $$

过程噪声协方差（基于加速度噪声强度 \(q\)）

$$ Q = q\begin{bmatrix} \Delta t^4/4 & \Delta t^3/2 \\ \Delta t^3/2 & \Delta t^2 \end{bmatrix} \tag{19} $$

观测噪声协方差（标量）

$$ R = r \tag{20} $$

7. 评价指标

RMSE（滤波/平滑）

$$ \text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(z_t - \hat{z}_t)^2} \tag{21} $$

其中 \(\hat{z}_t\) 可为滤波或平滑估计值。

8. 符号说明表（详细版）

9. 与代码实现的对应关系

本算法在程序中由 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波/core/calculator.py 实现，支持标准 KF 与 UKF 路径、RTS 平滑以及多步预测。程序会把滤波步骤、模型矩阵、预测结果和图表索引全部导出，因此论文结果部分应与这些实际产物一一对应。

9.1 程序实际导出的工作表

• RawData_Preview：原始数据预览；
• Filter_Steps：逐步滤波/平滑结果；
• FitSummary：模型摘要与误差指标；
• F、H、Q、R：模型矩阵；
• x0、P0：初始状态与初始协方差；
• Diagnostics：诊断结果；
• Forecast：未来预测及区间；
• Charts_Index：图表索引。

9.2 程序实际生成的图表

• obs_filtered_smoothed：观测/滤波/平滑对比；
• innov_series：创新序列；
• kalman_gain：卡尔曼增益；
• forecast：预测曲线与区间。

9.3 程序实现中应写明的点

• 程序支持 filter_method=kf/ukf，正文若用了 UKF 不应仍写线性 KF；
• 开启 enable_smoothing 时会额外导出平滑结果；
• Forecast 表的区间直接来自状态传播，不是后验手工加宽；
• Filter_Steps 已包含状态估计与协方差信息，适合附录做方法复核。

10. 论文写作模板

系统通常输出以下内容（Excel 多表 + 图表）：

• 原始数据预览、滤波/平滑结果表、诊断统计（创新均值/方差/正态性检验等）
• 模型矩阵（F/H/Q/R） 与 初始状态 (x0, P0)
• 预测结果表（含区间）
• 图表：观测/滤波/平滑对比、创新序列、卡尔曼增益、预测曲线等

论文模板段落（方法）

本文采用卡尔曼滤波对观测序列进行状态估计。系统建立线性高斯状态空间模型（式(1)–(3)），并按照预测—更新递推（式(4)–(10)）得到滤波估计；在需要时使用 RTS 平滑（式(12)–(14)）获得全样本平滑结果。模型评价采用对数似然（式(11)）与 RMSE（式(21)）指标。

论文模板段落（结果）

结果表明，滤波估计序列与观测值保持一致性，创新序列均值接近 0、方差稳定，RMSE 显著低于原始观测噪声水平。预测结果随步数扩展呈合理趋势，置信区间宽度随预测步数增加而扩大。

11. 注意事项

• \(\Delta t\) 需与数据时间间隔一致，若自动估计失败应手动设置。
• 过程噪声 \(Q\) 与观测噪声 \(R\) 影响平滑程度，可通过网格或经验调整。
• 当系统为非线性时，应使用 UKF/EKF；本系统提供 UKF 选项用于非线性扩展。
• 若观测含异常值，建议先做异常值处理以避免滤波偏移。

12. 单篇终审补充

12.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波，代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波/results/Kalman(constant_velocity_1d)分析结果_20260329_165531。
• 表题应直接对应 Kalman(constant_velocity_1d)分析结果_20260329_165531.xlsx 的真实工作表：RawData_Preview、Filter_Steps、FitSummary、F、H、Q、R、x0、P0、Diagnostics、Forecast、Charts_Index。
• 图题应优先对应该目录下已存在的实体图片：obs_filtered_smoothed_20260329_165531.png、innovations_20260329_165531.png、kalman_gain_20260329_165531.png、forecast_20260329_165531.png。
• 当前代表目录主要是 xlsx + png + repro 结构，没有额外 HTML/TXT 报告，论文图题和附录说明不应写出当前磁盘不存在的诊断网页。

12.2 终审说明

• 复现脚本实际为 repro_kalman_20260329_165531.py，其 SRC_FILE 写法是 repro_inputs/kalman_sample_data.csv，这里采用的是“脚本所在结果目录下的相对输入路径”，不是 results/.../repro_inputs/... 口径。
• 这意味着 Kalman 文档在复现描述上应单独说明：该算法的复现输入副本直接放在脚本同目录下的 repro_inputs 子目录中。
• 若论文需要引用代表性输出，应优先使用 FitSummary、Diagnostics 与 Forecast 三组结果表，并以 obs_filtered_smoothed 和 forecast 两类图作为主图证据。

12.3 全量强化补充

• 当前 Kalman 文档应绑定真实算法目录 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波，代表性主目录为 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波/results/Kalman(constant_velocity_1d)分析结果_20260329_165531。
• 该目录首层主工作簿为 Kalman(constant_velocity_1d)分析结果_20260329_165531.xlsx，真实工作表为 RawData_Preview、Filter_Steps、FitSummary、F、H、Q、R、x0、P0、Diagnostics、Forecast、Charts_Index。
• 首层主图为 obs_filtered_smoothed_20260329_165531.png、innovations_20260329_165531.png、kalman_gain_20260329_165531.png、forecast_20260329_165531.png，它们都与主工作簿同层放置。
• 该目录本身同时包含 repro_kalman_20260329_165531.py 与 repro_inputs/kalman_sample_data.csv，因此 Kalman 属于比较标准的“单目录内主结果 + repro 脚本 + repro_inputs 输入副本”结构。
• 脚本关键输入写法为 SRC_FILE = 'repro_inputs/kalman_sample_data.csv'，应在附录里按“脚本同目录相对路径复现”口径表述，不需要再写成模块根目录相对路径。
• 当前目录没有 repro_outputs/、没有 HTML/TXT 诊断报告，也没有额外的平铺历史图组；因此正文和附录应以这一个时间戳目录为主要证据，避免套用 ETS 或 ARIMA 那种“历史累计目录”的说明方式。
• 从论文结果映射上看，Filter_Steps、FitSummary、Diagnostics、Forecast 是正文最关键的四张表；F/H/Q/R/x0/P0 更适合作为附录中的模型矩阵与参数证据。

13. 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前实现的主结果目录应写作 具体的算法2/Kalman-卡尔曼滤波/results/Kalman(constant_velocity_1d)分析结果_20260329_165531，这是标准的单目录闭环证据包。
• 正文最稳妥的主表仍是 RawData_Preview、Filter_Steps、FitSummary、Diagnostics、Forecast、Charts_Index，主图对应 obs_filtered_smoothed_20260329_165531.png、innovations_20260329_165531.png、kalman_gain_20260329_165531.png、forecast_20260329_165531.png。
• repro_kalman_20260329_165531.py + repro_inputs/kalman_sample_data.csv 都在同一目录体系中，文中可直接按“脚本同目录相对路径复现”口径表述。
• 若后续写论文附录，F/H/Q/R/x0/P0 仍更适合作为参数矩阵证据，不要把它们写成正文主结果。