ETS-指数平滑

1. 方法概述

ETS（Error–Trend–Seasonal）指数平滑模型是一类经典的时间序列预测方法，通过水平（Level）、趋势（Trend）与季节（Seasonal）分量的递推更新来刻画序列结构。系统支持无趋势/有趋势、无季节/有季节、加法/乘法季节，以及阻尼趋势等设置。

设时间序列为 \(\{y_t\}_{t=1}^n\)，基本目标是得到 \(\hat{y}_{t+h}\) 的预测值与置信区间。

2. ETS 模型结构与递推公式

ETS 的通用形式可表示为：

$$ \hat{y}_t = f(\ell_{t-1}, b_{t-1}, s_{t-m}) \tag{1} $$

其中 \(\ell_t\) 为水平分量，\(b_t\) 为趋势分量，\(s_t\) 为季节分量，\(m\) 为季节周期。

2.1 加法季节（Additive）

观测方程：

$$ \hat{y}_t = \ell_{t-1} + \phi b_{t-1} + s_{t-m} \tag{2} $$

水平更新：

$$ \ell_t = \alpha (y_t - s_{t-m}) + (1-\alpha)(\ell_{t-1}+\phi b_{t-1}) \tag{3} $$

趋势更新（阻尼趋势时 \(0<\phi\le 1\)，否则 \(\phi=1\)）：

$$ b_t = \beta (\ell_t-\ell_{t-1}) + (1-\beta)\phi b_{t-1} \tag{4} $$

季节更新：

$$ s_t = \gamma (y_t-\ell_t) + (1-\gamma)s_{t-m} \tag{5} $$

2.2 乘法季节（Multiplicative）

观测方程：

$$ \hat{y}_t = (\ell_{t-1} + \phi b_{t-1})\cdot s_{t-m} \tag{6} $$

水平更新：

$$ \ell_t = \alpha\frac{y_t}{s_{t-m}} + (1-\alpha)(\ell_{t-1}+\phi b_{t-1}) \tag{7} $$

季节更新：

$$ s_t = \gamma\frac{y_t}{\ell_t} + (1-\gamma)s_{t-m} \tag{8} $$

乘法模型要求 \(y_t>0\)。当启用 log/Box-Cox 变换时亦需正值。

2.3 预测公式（含阻尼趋势）

令 \(h\) 为预测步长，阻尼趋势的累计系数为

$$ \sum_{i=1}^{h}\phi^i = \phi\frac{1-\phi^h}{1-\phi} \tag{9} $$

则：

• 加法季节：

$$ \hat{y}_{t+h} = \ell_t + \left(\sum_{i=1}^{h}\phi^i\right)b_t + s_{t-m+h} \tag{10} $$

• 乘法季节：

$$ \hat{y}_{t+h} = \left(\ell_t + \left(\sum_{i=1}^{h}\phi^i\right)b_t\right)\cdot s_{t-m+h} \tag{11} $$

当无趋势或无季节时，上式自动退化为更简洁形式。

3. 频率与季节周期

• 频率（freq）用于将时间列对齐为规则序列（如 D/W/ME/QE/YS）。
• 季节周期 \(m\) 由 seasonal_periods 给出（如月度数据 \(m=12\)）。
• 若启用季节项，建议训练样本至少覆盖 \(2m\) 个周期。

4. 训练/测试切分

系统按时间顺序切分训练集与测试集：

$$ \text{train\_ratio}\in(0,1],\quad n_{train}=\lfloor n\cdot \text{train\_ratio}\rfloor \tag{12} $$

测试集用于计算误差指标与验证拟合效果。

5. 评价指标

均方误差（MSE）：

$$ \text{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(y_t-\hat{y}_t)^2 \tag{13} $$

均方根误差（RMSE）：

$$ \text{RMSE}=\sqrt{\text{MSE}} \tag{14} $$

平均绝对误差（MAE）：

$$ \text{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}|y_t-\hat{y}_t| \tag{15} $$

平均绝对百分比误差（MAPE）：

$$ \text{MAPE}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}\left|\frac{y_t-\hat{y}_t}{y_t}\right| \tag{16} $$

6. AIC/BIC 与残差诊断

6.1 AIC / BIC

$$ \text{AIC}=2k-2\ell,\qquad \text{BIC}=k\ln n-2\ell \tag{17} $$

其中 \(k\) 为参数个数，\(\ell\) 为对数似然。

6.2 Ljung-Box 与 Jarque-Bera

Ljung-Box：

$$ Q=n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} \tag{18} $$

Jarque-Bera：

$$ JB=\frac{n}{6}\left(S^2+\frac{(K-3)^2}{4}\right) \tag{19} $$

用于检验残差自相关与正态性。系统也输出残差直方图、Q-Q 图、ACF/PACF 图。

7. 预测区间

系统基于残差标准差 \(\hat\sigma\) 计算近似区间：

$$ \hat{y}_{t+h} \pm z_{1-\alpha/2}\,\hat\sigma \tag{20} $$

其中 \(\alpha\) 为显著性水平，默认 \(0.05\)。

8. 输出结果与图表

Excel 常见 sheet：

• 参数设置 / 模型摘要 / 诊断 / 预测 / 残差 / 原始数据 / 模型参数 / 图表清单

图表：

• 预测曲线（含拟合值与预测区间）
• 残差分布、QQ 图
• 残差 ACF/PACF

9. 与代码实现的对应关系

本算法在程序中由 具体的算法2/ETS-指数平滑/core/calculator.py 实现。程序当前不是抽象地“输出预测结果”，而是将参数、拟合摘要、预测表、残差表和图表清单全部写入 xlsx，文档和论文都应按这些实际产物来组织。

9.1 程序实际导出的工作表

• 参数设置：时间列、频率、趋势、季节、季节周期、训练比例、预测步数、显著性水平等；
• 模型摘要：拟合统计量、AIC/BIC 与误差指标；
• 诊断：Ljung-Box、Jarque-Bera 等诊断结果；
• 预测：训练拟合、测试预测、未来预测及上下区间；
• 残差：残差序列及相关字段；
• 原始数据：原始序列；
• 模型参数：平滑参数及估计结果；
• 图表清单：图表名称与相对路径。

9.2 程序实际生成的图表

• 预测曲线图：真实值、拟合值、未来预测及区间；
• 残差分布图；
• resid_qq：残差 QQ 图；
• resid_acf：残差 ACF；
• resid_pacf：残差 PACF。

9.3 实现说明与注意事项

• 程序输出区间是基于残差方差近似得到，不应写成贝叶斯后验区间；
• 程序 sheet 命名采用中文，若论文附录直接引用导出表，建议保持一致；
• 若未启用季节项或阻尼趋势，正文不应仍按完整 ETS(A,A,A) 叙述；
• 若使用乘法季节或 log/Box-Cox，应在数据说明中交代序列为正值；
• 图表清单 记录相对路径，便于结果目录整体迁移和归档。

10. 论文写作模板

10.1 方法描述模板

“本文采用 ETS 指数平滑模型对时间序列进行建模与预测。模型包含水平、趋势与季节成分，采用加法/乘法结构并结合阻尼趋势（式(2)–(11)）。模型参数通过极大似然或自动优化估计，预测区间由残差标准差与正态近似给出（式(20)）。”

10.2 结果描述模板

“结果显示，ETS 模型在测试集上的 RMSE 为 \(\text{RMSE}\)，MAE 为 \(\text{MAE}\)，MAPE 为 \(\text{MAPE}\)。预测曲线与真实值拟合较好，残差诊断结果未显示显著自相关，说明模型拟合较为合理。”

10.3 图表题注模板（示例）

• 图 1 ETS 拟合与预测曲线（含置信区间）。
• 图 2 残差分布与 Q-Q 图。
• 图 3 残差 ACF/PACF 图。

10.4 表格模板（示例）

表 1 ETS 模型参数与拟合指标

表 2 ETS 参数估计值

表 3 预测期结果示例（节选）

表 4 残差诊断结果示例

11. UI 参数一一对应表（与界面一致）

12. 英文模板段落与图表题注（可选）

英文方法段：

We employ the ETS (Error–Trend–Seasonal) exponential smoothing model to forecast the time series. The model decomposes the series into level, trend, and seasonal components, and uses additive/multiplicative structures with optional damped trend (Eq. 2–11). Parameters are estimated via maximum likelihood or automatic optimization, and prediction intervals are derived from residual variance (Eq. 20).

英文结果段：

The ETS model achieves RMSE of \(\text{RMSE}\), MAE of \(\text{MAE}\), and MAPE of \(\text{MAPE}\) on the test set. The fitted values track the observed series well, and residual diagnostics show no strong autocorrelation, indicating a reasonable fit.

英文图题模板：

• Figure 1. ETS fitted and forecast curve with prediction intervals.
• Figure 2. Residual distribution and Q–Q plot.
• Figure 3. Residual ACF/PACF plots.

13. 注意事项

• 乘法季节或 Box-Cox(log) 需要序列为正值；
• 季节周期过大或频率不规则会显著增加拟合耗时；
• 若数据量很大，建议先抽样验证参数，再进行全量拟合；
• 频率不确定时可留空，系统自动推断；
• 输出的图表清单可直接用于论文插图排版。

14. 单篇终审补充

14.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/ETS-指数平滑，代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/ETS-指数平滑/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets。
• 表题应直接对应 ets_baseline.xlsx 的真实工作表：参数设置、模型摘要、诊断、预测、残差、原始数据、模型参数、图表清单。
• 图题应直接绑定该目录已存在的实体图片族：forecast_20260329_165431.png、resid_acf_20260329_165431.png、resid_pacf_20260329_165431.png、resid_hist_20260329_165431.png、resid_qq_20260329_165431.png。
• 若正文引用“预测图”“残差 ACF/PACF 图”“残差分布图”“Q-Q 图”，应保持与上述文件和 图表清单 sheet 的命名一致，不要再额外虚构 STL、分解图等当前目录并未落地的图。

14.2 终审说明

• 当前 ETS 文档已经可以用 baseline 目录形成完整证据链：ets_baseline.xlsx、实体图文件、repro_ets_template_20260329_165432.py、repro_inputs/ets_input.csv 均已齐备。
• 复现脚本中的 SRC_FILE 实际写为 results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets/repro_inputs/ets_input.csv，属于模块根目录相对路径复现，不是脚本同目录裸 CSV。
• 因此论文中若描述“结果可复核”，宜写成“基于 ETS baseline 导出目录中的 repro_inputs/ets_input.csv 与复现脚本可重现主要结果表和图表”。

14.3 全量强化补充

• 当前 ETS 文档应继续绑定真实算法目录 具体的算法2/ETS-指数平滑，代表目录为 具体的算法2/ETS-指数平滑/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets。
• 该目录首层主工作簿为 ets_baseline.xlsx，真实工作表为 参数设置、模型摘要、诊断、预测、残差、原始数据、模型参数、图表清单。
• 当前主目录不是“一次运行只保留一组文件”的干净结构，而是累计保留了多轮复现结果：除主工作簿外，还叠加了多份 ETS-指数平滑复现结果_*.xlsx、多份 repro_ets_template_*.py 以及多组 forecast_*.png、resid_acf_*.png、resid_pacf_*.png、resid_hist_*.png、resid_qq_*.png。
• 如果论文只引用一组主结果，应优先锁定 20260329_165431 这一组图，即 forecast_20260329_165431.png、resid_acf_20260329_165431.png、resid_pacf_20260329_165431.png、resid_hist_20260329_165431.png、resid_qq_20260329_165431.png，不要把同目录下其他时间戳图混成同一轮主分析图。
• 该目录中真实存在 repro_inputs/ets_input.csv 与 repro_ets_template_20260329_165432.py，脚本关键输入写法是 SRC_FILE = 'results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets/repro_inputs/ets_input.csv'，说明它采用的是“模块根目录相对路径回指 baseline 目录下的 repro_inputs”口径。
• 因此 ETS 的复现说明不能写成“脚本同目录直接读取 CSV”，也不能写成“标准 SCRIPT_DIR/repro_inputs”；更准确的写法是：脚本从模块根目录相对路径定位 baseline 目录里的 repro_inputs/ets_input.csv，然后重建结果。
• 当前目录中同时存在主基线输出、复现再生成果和 repro 脚本。正文与附录应明确：ets_baseline.xlsx 是主引用工作簿，ETS-指数平滑复现结果_*.xlsx 与后缀更晚的图文件属于再生产物。

15. 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前实现的主结果目录应写作 具体的算法2/ETS-指数平滑/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets，主工作簿为 ets_baseline.xlsx。
• 正文应优先锁定 20260329_165431 这一组图，不要把同目录下其他时间戳图混成同一轮主分析图。
• repro_ets_template_20260329_165432.py 的关键输入是 results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami1_ets/repro_inputs/ets_input.csv，属于“模块根目录相对路径回指 baseline 目录”口径，不是脚本同目录快照。
• 如果论文与附录要写复现链路，应明确区分主基线、再生产物和历史脚本，不要把多轮结果合并成一次导出。