Copula-连接函数

1. 方法概述

Copula（连接函数）用于刻画多变量之间的依赖结构，将边缘分布与相关结构分离建模。系统支持：

• 单对变量（X/Y）与批量成对拟合（pairwise）；
• 边缘分布：经验分布（秩变换）、参数分布（正态/t/对数正态/伽马）、KDE CDF（如可用）；
• Copula 家族：Gaussian / t / Clayton / Frank / Gumbel（可自动选择）；
• 指标：Kendall / Spearman、logLik/AIC/BIC、尾部相关、经验距离；
• 模拟：从拟合 Copula 生成样本并反变换回原尺度；
• 输出：Excel 多表与图表（散点、伪观测、密度热力、尾相关对比等）。

设样本为 \(\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^n\)： $$ \mathcal{D}=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{n},\quad x_i,y_i\in\mathbb{R} \tag{1} $$

2. Copula 基本定义（Sklar 定理）

二维联合分布可表示为 $$ F_{XY}(x,y)=C\big(F_X(x),F_Y(y)\big) \tag{2} $$

其中 \(C(\cdot,\cdot)\) 为 Copula，\(u=F_X(x), v=F_Y(y)\in(0,1)\)。
若可导，则 Copula 密度为 $$ c(u,v)=\frac{\partial^2 C(u,v)}{\partial u\,\partial v} \tag{3} $$

3. 边缘分布与伪观测

3.1 经验分布（秩变换）

$$ u_i=\frac{\mathrm{rank}(x_i)}{n+1},\quad v_i=\frac{\mathrm{rank}(y_i)}{n+1} \tag{4} $$

3.2 参数分布（可选）

若边缘分布参数为 \(\theta\)，则 $$ u_i=F_X(x_i;\theta_x),\quad v_i=F_Y(y_i;\theta_y) \tag{5} $$

3.3 KDE CDF（可选）

当环境支持 KDE CDF 时，用核密度估计 \(\hat F_X,\hat F_Y\) 代替经验分布。

4. Copula 家族

4.1 Gaussian Copula

$$ C(u,v)=\Phi_{\rho}\big(\Phi^{-1}(u),\Phi^{-1}(v)\big) \tag{6} $$

4.2 t-Copula

$$ C(u,v)=t_{\nu,\rho}\big(t_{\nu}^{-1}(u),t_{\nu}^{-1}(v)\big) \tag{7} $$

4.3 Clayton Copula（下尾相关）

$$ C(u,v)=\left(u^{-\theta}+v^{-\theta}-1\right)^{-1/\theta},\quad \theta>0 \tag{8} $$

4.4 Frank Copula（无尾相关）

$$ C(u,v)=-\frac{1}{\theta}\ln\left(1+\frac{(e^{-\theta u}-1)(e^{-\theta v}-1)}{e^{-\theta}-1}\right),\ \theta\neq 0 \tag{9} $$

4.5 Gumbel Copula（上尾相关）

$$ C(u,v)=\exp\left(-\left((-\ln u)^{\theta}+(-\ln v)^{\theta}\right)^{1/\theta}\right),\quad \theta\ge 1 \tag{10} $$

5. 参数估计与评价指标

5.1 伪似然 / 对数似然

$$ \ell(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\ln c(u_i,v_i;\theta) \tag{11} $$

5.2 AIC / BIC

$$ \text{AIC}=2k-2\ell(\theta),\qquad \text{BIC}=k\ln n-2\ell(\theta) \tag{12} $$

5.3 Kendall / Spearman（样本）

$$ \tau=\frac{2}{n(n-1)}\sum_{i<j}\mathrm{sign}(x_i-x_j)\,\mathrm{sign}(y_i-y_j) \tag{13} $$

$$ \rho_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)} \tag{14} $$

5.4 椭圆 Copula 的秩相关

（Gaussian / t） $$ \tau=\frac{2}{\pi}\arcsin(\rho),\qquad \rho_s=\frac{6}{\pi}\arcsin\left(\frac{\rho}{2}\right) \tag{15} $$

5.5 Clayton / Gumbel 的秩相关

$$ \tau_{\text{Clayton}}=\frac{\theta}{\theta+2},\qquad \tau_{\text{Gumbel}}=1-\frac{1}{\theta} \tag{16} $$

5.6 尾部相关（系统输出）

t-Copula： $$ \lambda_U=\lambda_L=2\,t_{\nu+1}\!\left(-\sqrt{\frac{(\nu+1)(1-\rho)}{1+\rho}}\right) \tag{17} $$

Clayton： $$ \lambda_L=2^{-1/\theta},\quad \lambda_U=0 \tag{18} $$

Gumbel： $$ \lambda_U=2-2^{1/\theta},\quad \lambda_L=0 \tag{19} $$

Gaussian / Frank 无尾相关（\(\lambda_L=\lambda_U=0\)）。

5.7 经验 Copula 距离（可选）

经验 Copula 在样本点处： $$ \hat C(u_i,v_i)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\mathbf{1}(u_j\le u_i, v_j\le v_i) \tag{20} $$

与模型 CDF 的平方距离： $$ D^2=\sum_{i=1}^n\big(\hat C(u_i,v_i)-C(u_i,v_i)\big)^2 \tag{21} $$

6. 模拟与反变换

从拟合 Copula 生成 \((U,V)\) 后，反变换得到 $$ X=F_X^{-1}(U),\quad Y=F_Y^{-1}(V) \tag{22} $$

7. 批量成对拟合（pairwise）

系统支持对所有数值列进行两两拟合，并以 AIC 选择最优家族，输出：

1. Pairwise_Summary（每对变量的最优家族与参数）
2. family_heatmap / kendall_tau_heatmap 两张热力图

8. 输出结果与图表（Excel/图片）

Excel Sheets（单对拟合）：

• Parameters / Raw_Preview / Marginals / PseudoObs_UV
• Copula_Fit / Dependence / Empirical_Distance / Simulated_Samples
• Charts_Index

Excel Sheets（pairwise）：

• Raw_Preview / Pairwise_Summary / Charts_Index

图表清单（示例）：

1. 原始散点（scatter_raw）
2. 伪观测散点（scatter_uv）
3. U-V 直方图或热力图（hist2_uv / copula_pdf_heat）
4. 模拟样本对比（scatter_sim_vs_raw）
5. 尾部概率对比图（tail_empirical_vs_model）
6. （pairwise）家族热力图 / Kendall-tau 热力图

9. 与代码实现的对应关系

本算法在程序中由 具体的算法2/Copula-连接函数/core/calculator.py 实现，支持单对变量拟合与全数值列 pairwise 两种模式。程序会同时导出边缘分布信息、伪观测、Copula 拟合结果、经验距离和图表索引，因此论文写作不应只停留在“选了某个 Copula 家族”，而应与这些真实产物对应。

9.1 程序实际导出的工作表

• 单对拟合：Parameters、Raw_Preview、Marginals、PseudoObs_UV、Copula_Fit、Dependence、Empirical_Distance、Simulated_Samples、Charts_Index；
• pairwise：Raw_Preview、Pairwise_Summary、Charts_Index。

9.2 程序实际生成的图表

• scatter_raw：原始样本散点；
• scatter_uv：伪观测散点；
• copula_pdf_heat：Copula 密度热力图；
• scatter_sim_vs_raw：模拟样本与原样本对比；
• tail_empirical_vs_model：尾部联动经验值与模型值对比；
• pairwise 模式下还会生成家族热力图和 Kendall-tau 热力图。

9.3 程序实现中应写清的点

• 边缘分布支持经验分布、参数分布与 KDE 路径；
• copula_family=auto/best 时程序会比较多类 Copula 并按 AIC 选优；
• t-Copula 会额外输出自由度与上下尾相关；
• pairwise 结果是对所有数值列两两拟合的汇总，适合论文附录或变量筛查章节使用。

10. 论文写作模板

10.1 模型描述模板段落

“本文采用 Copula 方法对变量 \(X\) 与 \(Y\) 的依赖结构进行建模。首先对边缘分布进行估计，并通过秩变换得到伪观测 \(U,V\)（式(4)–(5)）。随后分别拟合 Gaussian/t/Clayton/Frank/Gumbel Copula，并以对数似然与 AIC/BIC 进行比较（式(11)–(12)）。模型输出 Kendall 与 Spearman 秩相关、尾部相关与经验距离，用于刻画相关强度与尾部依赖。”

10.2 图表题注模板（示例）

• 图 1 原始样本散点与伪观测散点对比图。
• 图 2 Copula 密度热力图与模拟样本分布。
• 图 3 尾部相关经验值与模型值对比图。

10.3 表格模板（示例）

表 1 Copula 家族参数与评价指标

表 2 尾部相关系数

10.3.1 更多中文表格示例（可直接用于论文）

表 3 Copula 家族对比（示例）

表注：对比以 AIC/BIC 为主，logLik 越大越好；Clayton/Gumbel 仅适用于正相关样本。

表 4 依赖强度与尾部相关（示例）

表 5 经验距离与拟合优度（示例）

10.4 英文模板段落与图表题注（可直接使用）

英文段落模板

“A Copula model was employed to characterize the dependence between \(X\) and \(Y\). Marginal distributions were estimated and transformed to pseudo-observations \(U,V\) (Eqs. (4)–(5)). Gaussian/t/Clayton/Frank/Gumbel Copulas were fitted and compared using log-likelihood and information criteria (AIC/BIC; Eqs. (11)–(12)). Kendall’s \(\tau\), Spearman’s \(\rho_s\), and tail-dependence coefficients were reported to assess dependence strength and tail co-movement.”

英文图题模板

• Fig. 1. Raw sample scatter and pseudo-observation scatter plots.
• Fig. 2. Copula density heatmap and simulated sample distribution.
• Fig. 3. Empirical vs. model tail dependence.

英文表格标题模板

• Table 1. Copula family selection and parameter estimates.
• Table 2. Dependence measures (Kendall’s \(\tau\), Spearman’s \(\rho_s\)) and tail coefficients.

11. UI 参数一一对应说明表（与界面一致）

12. 示例数据说明模板（可直接用于论文）

“本文使用 \(n\) 组联合样本 \((x_i,y_i)\)，通过经验分布/参数分布将边缘映射为伪观测 \((u_i,v_i)\)，并拟合多类 Copula 以刻画依赖结构。模型输出相关指标与尾部相关系数，用以评估极端风险的联动程度。”

13. 单篇终审补充

13.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/Copula-连接函数。
• 代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/Copula-连接函数/results/Copula分析结果_20260329_165518，因为该目录同时具备 xlsx + 图 + repro。
• 表题应直接对应 Copula分析结果_20260329_165518.xlsx 的真实工作表：Parameters、Raw_Preview、Marginals、PseudoObs_UV、Copula_Fit、Dependence、Empirical_Distance、Simulated_Samples、Charts_Index。
• 图题应优先绑定该目录已存在的实体图片：scatter_raw_20260329_165518.png、scatter_uv_20260329_165518.png、copula_pdf_heat_20260329_165518.png、scatter_sim_20260329_165518.png、tail_empirical_vs_model_20260329_165518.png、hist2_uv_20260329_165518.png。

13.2 终审说明

• 当前 Copula 文档可以按“单个结果目录闭环”写入论文：结果表、图表、复现脚本都集中在同一时间戳目录中。
• 复现脚本实际为 repro_copula_20260329_165518.py，其 SRC_FILE 写法是 repro_inputs/sample_data.csv，属于“脚本所在结果目录下的 repro_inputs 相对路径”口径。
• 因此正文若说明复现方式，应写成“基于结果目录内 repro_inputs/sample_data.csv 快照复现”，不要误写成模块根目录 results/.../repro_inputs/... 形式。

13.3 全量强化补充

• 当前 Copula 文档应绑定真实算法目录 具体的算法2/Copula-连接函数，代表性结果目录为 具体的算法2/Copula-连接函数/results/Copula分析结果_20260329_165518。
• 该目录首层主工作簿为 Copula分析结果_20260329_165518.xlsx，真实工作表为 Parameters、Raw_Preview、Marginals、PseudoObs_UV、Copula_Fit、Dependence、Empirical_Distance、Simulated_Samples、Charts_Index。
• 当前主图与主工作簿同层放置，真实文件为 scatter_raw_20260329_165518.png、scatter_uv_20260329_165518.png、copula_pdf_heat_20260329_165518.png、scatter_sim_20260329_165518.png、tail_empirical_vs_model_20260329_165518.png、hist2_uv_20260329_165518.png。这里没有单独 charts/ 子目录。
• 目录内同时存在 repro_copula_20260329_165518.py 和 repro_inputs/sample_data.csv，脚本关键输入写法为 SRC_FILE = 'repro_inputs/sample_data.csv'。因此 Copula 属于标准“单目录内主结果 + 脚本 + repro_inputs”结构。
• 若论文解释依赖结构，应把 Copula_Fit、Dependence 与 tail_empirical_vs_model_20260329_165518.png 成组引用；若解释伪观测构造，应把 PseudoObs_UV、scatter_uv_20260329_165518.png 和 hist2_uv_20260329_165518.png 成组引用。

13.4 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前最新结果目录 results/Copula分析结果_20260411_213907 是输出目录，工作簿包含 Parameters、Raw_Preview、Marginals、PseudoObs_UV、Copula_Fit、Dependence、Empirical_Distance、Simulated_Samples、Charts_Index，图文件也都在根层。
• 当前这版目录的核心图是 scatter_raw_20260411_213907.png、scatter_uv_20260411_213907.png、copula_pdf_heat_20260411_213907.png、scatter_sim_20260411_213907.png、tail_empirical_vs_model_20260411_213907.png、hist2_uv_20260411_213907.png。
• 当前最新目录没有看到同层 repro 脚本；如果要写复现，请回溯到较早时间戳目录中的 repro_copula_20260411_212914.py 等脚本，不要把 213907 写成自带复现入口。
• Copula 文档里要强调“边缘分布 + 伪观测 + 拟合 Copula + 模拟样本”这一条链路，不能把它写成普通回归或分类模型。