ARIMA-自回归差分移动平均模型

1. 方法概述

ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）是经典的时间序列建模方法，适用于单变量序列的趋势、季节与随机波动建模。本系统以 SARIMAX（季节性 ARIMA + 外生变量） 为核心，支持：

• 非季节 / 季节 ARIMA；
• 外生变量（SARIMAX）；
• ADF/KPSS 平稳性检验与 ACF/PACF 辅助选阶；
• 自动寻阶（pmdarima 可用时）；
• 回测（滚动/滑窗）与预测区间。

设时间序列为

$$ \{y_t\}_{t=1}^{T},\quad y_t\in\mathbb{R} \tag{1} $$

2. 符号说明表

3. 平稳性与差分

非平稳序列通常需做差分以稳定均值与方差。

一阶差分： $$ \nabla y_t = y_t - y_{t-1} \tag{2} $$

季节差分（周期为 \(s\)）： $$ \nabla_s y_t = y_t - y_{t-s} \tag{3} $$

系统支持 ADF/KPSS 检验辅助判断差分阶数，若已启用季节项，则根据季节性强度建议 \(D\) 与 \(s\)。

4. AR / MA / ARMA / ARIMA

4.1 AR(\(p\))

$$ y_t = c + \sum_{i=1}^{p}\phi_i y_{t-i} + \varepsilon_t \tag{4} $$

4.2 MA(\(q\))

$$ y_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \varepsilon_{t-j} \tag{5} $$

4.3 ARMA(\(p,q\))

$$ y_t = c + \sum_{i=1}^{p}\phi_i y_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \varepsilon_{t-j} \tag{6} $$

4.4 ARIMA(\(p,d,q\))

用滞后算子 \(B\) 表示： $$ \phi(B)(1-B)^d y_t = c + \theta(B)\varepsilon_t \tag{7} $$

5. 季节性 SARIMA

季节性 ARIMA 为 $$ \Phi(B^s)\,\phi(B)\,(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = c + \Theta(B^s)\,\theta(B)\varepsilon_t \tag{8} $$

其中 \(\Phi(B^s)\) 与 \(\Theta(B^s)\) 为季节性多项式。

6. SARIMAX（外生变量）

带外生变量的 SARIMAX 形式： $$ \Phi(B^s)\phi(B)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = c + \beta^\top x_t + \Theta(B^s)\theta(B)\varepsilon_t \tag{9} $$

系统要求外生变量为数值型，若包含非数值字段需先编码。

7. 参数估计与模型选择

7.1 最大似然估计

在高斯误差假设下的对数似然： $$ \ell(\theta)=-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\left[\ln(2\pi\sigma^2)+\frac{\varepsilon_t^2}{\sigma^2}\right] \tag{10} $$

7.2 信息准则

$$ \text{AIC}=2k-2\ln L \tag{11} $$ $$ \text{BIC}=k\ln n-2\ln L \tag{12} $$

其中 \(k\) 为参数数目，\(n\) 为样本量，\(L\) 为最大似然值。

7.3 选阶策略（系统支持）

• 基于 ACF/PACF 的经验选阶；
• ADF/KPSS 评估差分阶数；
• 若安装 pmdarima，可使用 auto_arima 自动寻阶（UI 一键填充）。

8. 预测与区间

点预测： $$ \hat{y}_{t+h}=\mathbb{E}(y_{t+h}\mid \mathcal{F}_t) \tag{13} $$

预测区间： $$ \hat{y}_{t+h} \pm z_{1-\alpha/2}\,\hat{\sigma}_h \tag{14} $$

系统输出预测均值与置信区间（如 95% 区间）。

9. 评价指标

MAE： $$ \text{MAE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i| \tag{15} $$

RMSE： $$ \text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2} \tag{16} $$

MAPE： $$ \text{MAPE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left|\frac{y_i-\hat{y}_i}{y_i}\right| \tag{17} $$

10. 回测与滚动预测（系统支持）

系统提供 滚动窗口 与 滑窗 两种回测方式。回测误差定义为：

$$ e_t = y_t - \hat{y}_t \tag{18} $$

并在回测摘要中汇总 MAE / RMSE / MAPE 等指标与误差分布。

11. 残差诊断与平稳性检验

Ljung–Box 检验： $$ Q = n(n+2)\sum_{k=1}^{m}\frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} \tag{19} $$

ADF（单位根检验）回归形式： $$ \Delta y_t=\alpha+\beta t+\gamma y_{t-1}+\sum_{i=1}^{p}\delta_i\Delta y_{t-i}+\varepsilon_t \tag{20} $$

系统同时给出 KPSS 检验结果，用于与 ADF 交叉判断平稳性。

12. 与代码实现的对应关系

本算法在程序中由 具体的算法2/ARIMA-自回归差分移动平均模型/core/calculator.py 实现，核心建模对象是 statsmodels 的 SARIMAX。因此文档写作应以程序真实导出结果为准，而不是只停留在抽象公式层面。

12.1 程序实际导出的 Excel 工作表

• Parameters：界面参数、阶数、频率、显著性水平等；
• Model_Summary：statsmodels 模型摘要文本；
• Coefficients：参数估计结果；
• Diagnostics：残差诊断摘要；
• LjungBox：多滞后 Ljung-Box 检验表；
• Stationarity：ADF/KPSS 等平稳性结果；
• Series：原始序列；
• Fitted：样本内拟合值；
• Forecast：测试集或未来期预测值及区间；
• Residuals：残差序列；
• Metrics：MAE、RMSE、MAPE 等指标；
• Charts_Index：图表索引与相对路径；
• Split_Info：训练/测试切分信息；
• Backtest_Summary、Backtest_Folds：启用回测时额外生成。

12.2 程序实际生成的图表与报告

• 原序列、拟合值、预测值同图；
• 残差直方图与 QQ 图；
• 残差时序图；
• 残差 ACF / PACF 图；
• 测试集真实值与预测值对比图；
• 启用回测时的滚动预测图与回测误差直方图；
• 启用 STL 时的分解图；
• 另输出 HTML 与 TXT 两种诊断摘要。

12.3 论文撰写时的直接对应关系

• “模型设定”部分可直接对应 Parameters、Model_Summary、Coefficients；
• “平稳性与诊断”部分对应 Stationarity、LjungBox、Diagnostics；
• “预测结果”部分对应 Forecast、Metrics 与预测对比图；
• “滚动验证/稳健性”部分对应 Backtest_Summary 与 Backtest_Folds。

12.4 程序实现里应写清的细节

• 程序支持外生变量 exog，若论文用了协变量，不应仍描述为纯单变量 ARIMA；
• 预测阶段会输出置信区间，而不是只输出点预测；
• 支持滚动/滑窗回测，且回测结果单独落表；
• 可选自动寻阶与动态预测图，这些属于实现增强项，可写入附录或实现说明。

12.5 参数设置（与界面字段一致）

• 时间列：选择日期/时间列，可勾选“解析日期”，并设置频率 freq（D/W/M/Q/YS 等），未填则自动推断。
• 目标列 y：时间序列主变量。
• 外生变量（可选）：作为 SARIMAX 的 \(x_t\)，需数值型（非数值需先编码）。
• 阶数选择：\((p,d,q)\) 与 \((P,D,Q,m)\)；可使用“建议”或“自动寻阶(pmdarima)”按钮。
• alpha：显著性水平，用于预测区间（如 0.05 对应 95% 区间）。
• 训练比例：按时间顺序切分训练/测试。
• 预测步数：用于测试集预测与区间输出。

12.6 平稳性与选阶辅助

• “检查平稳性”按钮输出 ADF/KPSS 结果；
• ACF/PACF 与信息准则共同用于阶数筛选。

12.7 回测设置（可选）

• 启用回测：在测试区间执行滚动/滑窗回测；
• 方式：滚动窗口 / 滑窗；
• 初始训练样本 与 步长；
• 每步重估：每步重新拟合模型。

12.8 附加图表（可选）

• STL 分解图
• 误差分布图
• 动态预测图（滚动预测）

12.9 系统流程

1. 读取数据 → 选择时间列/目标列 → 可选外生变量；
2. 解析日期并设定频率（可自动推断）；
3. 选择 \(p,d,q,(P,D,Q,m)\) 或自动寻阶；
4. 按时间顺序切分训练/测试；
5. 拟合 SARIMAX → 预测 → 计算指标；
6. 生成诊断检验（ADF/KPSS/Ljung–Box）、残差分析与图表；
7. 可选回测并生成滚动预测图与误差直方图；
8. 输出 Excel、图表与诊断报告（HTML/TXT）。

13. 输出结果与图表（Excel/图片/诊断报告）

Excel Sheet（示例）：

• Parameters / Model_Summary / Coefficients
• Diagnostics / LjungBox / Stationarity
• Series / Fitted / Forecast / Residuals
• Metrics / Charts_Index / Split_Info
• Backtest_Summary / Backtest_Folds（若启用回测）

图表清单（示例）：

1. 原始序列图（timeseries）
2. 残差图 / 残差直方图
3. 测试集真实值 vs 预测值折线（含区间时为 shaded band）
4. 残差时序图、残差-拟合散点图
5. ACF/PACF 图
6. STL 分解图（可选）
7. 回测滚动预测图、回测误差直方图（可选）

诊断报告： 导出美观 HTML + TXT 两种格式，包含参数、指标与检验结果。

14. 论文写作模板

14.1 模型与数据描述模板段落

“本文采用 ARIMA/SARIMAX 方法对时间序列 \(y_t\) 建模。先对序列进行平稳性检验（ADF/KPSS），若不平稳则做差分（式(2)–(3)）。模型阶数 \((p,d,q)\) 与季节项 \((P,D,Q,s)\) 由 ACF/PACF 及信息准则综合确定，并在训练集上拟合。模型在测试集上评估 MAE、RMSE 与 MAPE（式(15)–(17)），同时进行残差独立性检验与正态性检验，以保证模型的统计有效性。”

14.2 图表题注模板（示例）

• 图 1 时间序列原始序列与趋势分解结果（STL）。
• 图 2 测试集真实值与 ARIMA 预测值对比图。
• 图 3 残差时序与残差直方图（用于诊断）。
• 图 4 ACF/PACF 诊断图（用于阶数识别）。
• 图 5 回测滚动预测结果与误差分布图。

14.3 表格模板（示例）

表 1 ARIMA 模型阶数与信息准则

表 2 预测误差指标

表注示例：注：AIC/BIC 来自最大似然估计结果；误差指标在测试集上计算。

14.4 英文模板段落（可直接使用）

“An ARIMA/SARIMAX model was fitted to the time series \(y_t\). Stationarity was assessed using ADF and KPSS tests, and differencing was applied when necessary (Eqs. (2)–(3)). The orders \((p,d,q)\) and seasonal \((P,D,Q,s)\) were chosen based on ACF/PACF diagnostics and information criteria (AIC/BIC). The model was trained on the first \(r\%\) observations and evaluated on the hold-out set using MAE, RMSE and MAPE (Eqs. (15)–(17)). Residual diagnostics (Ljung–Box) and prediction intervals were reported to assess model adequacy.”

14.5 图注与编号格式（示例）

• 图 1-1 ARIMA 模型的 ACF/PACF 诊断图。
• 图 1-2 预测均值与置信区间（测试集）。
• 表 1-1 ARIMA 模型参数与信息准则（AIC/BIC）。

15. 示例数据说明模板（可直接用于论文）

“本文使用的时间序列数据包含 \(T\) 个观测点，时间频率为 \(s\)（如月度/季度/日度）。序列包含明显季节性与趋势成分，必要时加入外生变量 \(x_t\) 以刻画政策冲击或宏观因素影响。训练集占比为 \(r\)，测试集占比为 \(1-r\)。模型输出的预测结果与置信区间用于评估未来 \(h\) 期的走势与不确定性。”

16. 单篇终审补充

16.1 图题与表题对齐建议

• 本文档应优先对应真实算法目录 具体的算法2/ARIMA-自回归差分移动平均模型，代表性结果目录建议绑定 具体的算法2/ARIMA-自回归差分移动平均模型/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami0_arima。
• 表题应直接对应 arima_baseline.xlsx 的真实工作表：Parameters、Model_Summary、Coefficients、Diagnostics、LjungBox、Stationarity、Series、Fitted、Forecast、Residuals、Metrics、Charts_Index、Split_Info。
• 图题应优先对应该目录下已落地的实体图片：chart_timeseries.png、chart_test_true_pred.png、chart_resid_ts.png、chart_residuals.png、chart_resid_vs_fitted.png。
• 若论文写到更完整诊断页，可补充说明历史 SARIMAX分析结果_* 目录还存在 diagnostics_*.html、diagnostics_*.txt 一类报告；但当前 baseline 代表目录以 xlsx + png + repro 为主，不宜把 HTML/TXT 诊断写成默认必有产物。

16.2 终审说明

• 当前文档的结果说明应以 baseline 证据链为主，而不是泛指 ARIMA/SARIMAX 全部历史产物。
• 复现脚本可直接引用 repro_arima_20260329_165428.py，其 SRC_FILE 已写成 results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami0_arima/repro_inputs/arima_input.csv，属于“模块根目录相对路径 + repro_inputs 输入副本”口径。
• 因此论文正文若写“结果可由复现脚本直接重跑”，应明确对应 repro_inputs/arima_input.csv 这套快照输入，而不是笼统写“读取原始上传文件”。

16.3 全量强化补充

• 当前 ARIMA 文档应继续绑定真实算法目录 具体的算法2/ARIMA-自回归差分移动平均模型，并以 具体的算法2/ARIMA-自回归差分移动平均模型/results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami0_arima 作为代表性主目录。
• 该目录首层主工作簿为 arima_baseline.xlsx，真实工作表为 Parameters、Model_Summary、Coefficients、Diagnostics、LjungBox、Stationarity、Series、Fitted、Forecast、Residuals、Metrics、Charts_Index、Split_Info。
• 首层主图为 chart_timeseries.png、chart_test_true_pred.png、chart_resid_ts.png、chart_residuals.png、chart_resid_vs_fitted.png。这些图片全部与主工作簿同层放置，当前 baseline 目录没有额外 HTML/TXT 诊断报告。
• 同一 baseline 目录还累计保留了多份 repro_arima_*.py 与 repro_inputs/arima_input.csv。因此 ARIMA 当前同样不是“单次运行只保留一套文件”的干净目录，而是主 baseline 结果与历史/后续 repro 脚本共存。
• 当前主要复现脚本可采用 repro_arima_20260329_165428.py，其关键输入写法为 SRC_FILE = 'results/window3_baseline_test_window3_timeseries_dynami0_arima/repro_inputs/arima_input.csv'。这说明它采用的是“模块根目录相对路径回指 baseline 目录内 repro_inputs”口径。
• 因此论文与附录的正确写法应是：主结果证据来自 arima_baseline.xlsx + 同层 chart_*.png，复现实验证据来自同目录下的 repro_arima_*.py + repro_inputs/arima_input.csv。不要再泛化为“读取原始上传文件重跑”，因为当前真实快照路径已经固定到 baseline 目录。
• 若论文需要补充更重的诊断材料，可另行引用历史 SARIMAX分析结果_* 目录中的 HTML/TXT 诊断文件；但本篇以 baseline 目录为主证据时，不应把这些历史诊断文件写成当前主目录的默认产物。

16.4 软件实现核查补充（2026-07）

• 当前最新结果目录 results/SARIMAX分析结果_20260411_212104 采用 SARIMAX 核心，工作簿包含 Parameters、Model_Summary、Coefficients、Diagnostics、LjungBox、Stationarity、Series、Fitted、Forecast、Residuals、Metrics、Charts_Index、Split_Info。
• 当前目录的图和诊断文件都在根层，包含 chart_timeseries.png、chart_test_true_pred.png、chart_resid_ts.png、chart_resid_vs_fitted.png、chart_residuals.png、chart_stl.png、chart_acf_pacf.png、chart_error_hist.png，以及 diagnostics_20260411_212104.html/.txt。
• 复现脚本 repro_arima_20260411_212104.py 与 repro_inputs/sample_data.csv 同在结果目录体系中；正文写复现时应按这一口径说明，而不要泛化成“读取原始上传文件”。
• 如果正文要讲外生变量或季节项，就应继续写 SARIMAX；不要把这篇泛写成纯 ARIMA 而忽略当前代码已经接入的季节和外生变量能力。